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martes, 8 de noviembre de 2011

La matemática en Mesopotamia:El álgebra babilónica

Aparte de las tablas, que nos suministran abundante información sobre el sistema numérico y las operaciones aritméticas babilónicas, hay otras con textos que contienen problemas algebraicos y geométricos. Hay una tabla de la que hacían mucho uso los babilonios y que no suele verse incluida en los textos actuales. Se trata de una tabulación de n3+n2 para valores naturales de n y que jugó un papel esencial en el álgebra babilónica, materia ésta que alcanzó un nivel considerablemente alto en Mesopotamia.
Conocemos muchos problemas que aparecen en textos del período babilónico antiguo que demuestran que la resolución de la ecuación completa de segundo grado no ofrecía ninguna dificultad importante para los babilonios, dada la flexibilidad de las operaciones algebraicas que habían desarrollado. Así, podían trasponer términos en una ecuación sumando igualdades, y eliminar fracciones u otros factores multiplicando ambos miembros por cantidades iguales; sumando 4ab a (a-b)2 lo podían transformar en (a+b)2 , aprovechando los muchos tipos de factorizaciones simples con los que estaban familiarizados. No utilizaban letras para representar las cantidades incógnitas porque no estaba inventado aún el alfabeto, pero las palabras mismas tales como «longitud», «anchura», «área» y «volumen» servían perfectamente para este fin. Un indicio de que estas palabras pudieron ser utilizadas en un sentido muy abstracto nos viene dado por el hecho de que los babilonios no solían mostrar ningún reparo en sumar una «longitud» a un «área», o un «área» a un «volumen», por ejemplo.
Los babilonios consideraban demasiado elementales las ecuaciones lineales como para prestarles mucha atención, por lo que apenas existen ejemplos de este tipo. Las ecuaciones de primer grado, de la forma ax=b, se resolvían como hacemos actualmente, x=b/a , haciendo para ello uso de las tablas de inversos (para 1/a) y de productos (para b/a ). Cuando 1/a no era una fracción sexagesimal regular se usaba una aproximación.
La solución de las ecuaciones cuadráticas completas de la forma x2+px+q=0 con p y q positivos hubo de esperar hasta la época moderna, ya que dicha ecuación no tiene raíces positivas, así que en la época antigua y medieval, e incluso comienzos de la edad moderna, las ecuaciones cuadráticas se clasificaron en tres tipos que, reducidos a sus formas canónicas se corresponden, en notación actual, con: x2+px=q, x2=px+q y x2+q=px ; de forma que todos los coeficientes fueran positivos. La primera solución conocida de una ecuación cuadrática data del 2000 a.C., aproximadamente, en el período antiguo.
En relación a las ecuaciones cúbicas, en Mesopotamia nos encontramos con muchos ejemplos donde se da testimonio de resolución de este tipo de ecuaciones. Los babilonios resolvían las cúbicas puras consultando directamente las tablas de cubos o raíces cúbicas en las que podía leerse sin más la solución si aparecía en la tabla, y para valores que no aparecían en las tablas se utilizaba una simple interpolación lineal para conseguir una aproximación. Las cúbicas mixtas de la forma x3+x2=a se resolvían de una manera análoga consultando las tablas disponibles en las que aparecían los valores de la suma n3+n2 para valores enteros de n de 1 a 30. También sabían usar los valores de esta tabla para la resolución de ecuaciones cúbicas incompletas, del tipo ax3+bx2=c . En cambio, no se sabe si los babilonios fueron o no fueron capaces de reducir la cúbica general ax3+bx2+cx=d a su forma canónica; aunque no hay ningún tipo de evidencia documental disponible, por el nivel alcanzado hace probable que pudieran llevar a cabo tal reducción.
La resolución de ecuaciones cuadráticas y cúbicas en Mesopotamia constituyó un logro notable que hay que admirar no tanto por el alto nivel de habilidad técnica puesta en juego como por el nivel de madurez y de flexibilidad de los conceptos algebraicos que intervienen en el proceso. Es muy fácil ver, con la notación moderna, que la ecuación (ax)3+(ax)2=b es esencialmente del mismo tipo que la ecuación y3+y2=b, pero el conseguir darse cuenta de ello sin utilizar nuestra notación constituye un avance mucho más importante incluso para el desarrollo de la matemática que el celebrado principio posicional en aritmética, que debemos a la misma civilización.

Bibliografía

1. Boyer, Carl B.:"Historia de la matemática". Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1999.

2. Klein, M.:"El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días I". Alianza Universidad, Madrid, 1992.

3. Maza, Carlos: "Matemáticas en Mesopotamia" (página web)
Mª del Carmen Torres Alonso
Profesora Dpto. de Matemáticas


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