La Matemática en Mesopotamia: Áreas, Volúmenes y el Teorema de Pitágoras

Hasta que no se confirmaron los mensajes reproducidos sobre las tablillas procedentes de Susa, encontradas en 1936, los historiadores de la Matemática tenían muy clara la superioridad de la geometría egipcia sobre la mesopotámica.

Esta creencia estaba basada en los criterios de comparación de las fórmulas empleadas por ambas civilizaciones para el cálculo del área del círculo. Dado que sólo se tenía conocimiento de que los babilonios calculaban dicha área tomando tres veces el cuadrado del radio, lo cual queda muy por debajo del método egipcio en grado de aproximación, es por lo que sostenían la inferioridad de los sumerios en aportaciones a la geometría respecto a los egipcios.

Sin embargo, a partir de los datos aportados por las tablillas de Susa, tuvieron que cambiar de opinión ya que en ellas se encontró no solo que la aproximación que daban los babilonios para la razón del perímetro del hexágono regular a la longitud de la circunferencia circunscrita era tan aceptable como la de los egipcios, es más, también daban valores con dos cifras decimales correctas en algunas de las comparaciones entre las áreas y los cuadrados de los lados de los polígonos regulares de tres, cuatro, cinco, seis y siete lados.

Es muy probable que tuvieran, además, conocimiento del teorema de Pitágoras, esto nos viene sugerido a través de la tablilla Plimpton 322 (colección de Gerge A. Plimpton de libros raros y manuscritos de la Universidad de Columbia), que data de unos 1500 años a. de C. Esta tablilla recopila varios conjuntos de ternas pitagóricas, esto es, ternas de números enteros positivos x, y ,z tales que x²+y²=z². Dicha denominación proviene de su relación con el teorema de Pitágoras, que enuncia que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, denominados catetos. Debido a que dichas ternas están constituidas por números grandes es por lo que se supone que los babilonios tenían algún método para hallarlas, igual que los tenían para calcular el volumen del tronco de pirámide o del cono.

Como conocían que la altura de un triángulo isósceles o equilátero divide la base en dos partes iguales, podían calcular dada la longitud de una cuerda de una circunferencia de radio dado, la apotema correspondiente. Esta proposición suele conocerse con el nombre de Teorema de Tales, a pesar de que Tales vivió más de un milenio más tarde de la época en que los babilonios comenzaron a utilizarla.

Además, al parecer, no conocían únicamente que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es siempre un ángulo recto, sino que también estaban familiarizados con algún conocimiento sobre semejanzas de figuras. La semejanza entre todas las circunferencias parece haber sido dada por descontado en Mesopotamia, como lo fue también en Egipto, y los muchos problemas sobre medidas de triángulos que aparecen en las tablillas cuneiformes parecen sugerir un cierto concepto de semejanza.

Apéndice

En la siguiente actividad tenéis una demostración gráfica de que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es siempre un ángulo recto.

Para acceder debes hacer click en el siguiente enlace: actividad geogebra

Bibliografía

1. Argüelles Rodrígez, Juan: "Historia de la Matemática". Editorial Akal, S.A., Madrid, 1989.

2. Boyer, Carl B.:"Historia de la matemática". Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1999.

3. Maza, Carlos: "Matemáticas en Mesopotamia" (página web)

Mª del Carmen Torres Alonso

Profesora Dpto. de Matemáticas