Entorno Informacional Específico sobre la Laguna de los Tollos

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martes, 15 de mayo de 2012

Un paseo por la historia de la matemática: Los tres problemas clásicos de la geometría

Partenón
La expansión persa se tradujo en una serie de guerras entre griegos y persas que los historiadores llaman Guerras Médicas. Estas campañas empezaron con la invasión y destrucción de las colonias griegas del Asia Menor: a pesar del apoyo prestado por Atenas, Mileto fue derrotado en el 495 a. C., y todos sus habitantes deportados a Mesopotamia. Las victorias de Maratón y Salamina, dirigidas por Atenas, dieron a ésta un enorme prestigio, y, bajo su dirección, se fundó la «Liga de Delos o délica», con capital en la isla de Delos, pero regida en la práctica por Atenas. Esta alianza defensiva de ciudades-estado, fenómeno tan poco frecuente en la historia griega, propició un siglo de esplendor económico y cultural para toda Grecia y, sobre todo, para la capital de Ática: Atenas. Bajo el gobierno de Pericles (445-429 a.C.)
Estatua de Zeus
Atenas se llena de magníficos palacios y templos como el Partenón, de escultores como Fidias (autor de la estatua de Zeus en el templo de Olimpia, una de las siete maravillas del mundo antiguo), de escritores como los trágicos Eurípides y Sófocles y el cómico Aristófanes, y de filósofos como Parménides, Zenón de Elea y Anaxágoras, encarcelado por afirmar que el Sol no era un dios, sino una piedra incandescente, y que fue salvado in extremis por el propio Pericles, que había sido alumno suyo. También llegan a Atenas pitagóricos exiliados del sur de Italia y matemáticos como Hipócrates de Quíos, el mejor geómetra del siglo V a.C.

Lamentablemente, la experiencia de la guerra con los persas no sirvió de escarmiento. Las ciudades griegas se rebelaron contra Atenas, dando así comienzo a una larguísima «Guerra del Peloponeso» entre Atenas y Esparta, que terminó con el triunfo de esta última y supuso el fin de la prosperidad en toda Grecia. Esparta fue, a su vez, derrotada tras la rebelión de las ciudades a las que había sometido, y, con ello, Atenas recobró algo del pasado esplendor, muestra del cual es el auge de la filosofía con Platón (427-347 a.C.) y su Academia, y con Aristóteles (384-322 a.C.) y su Liceo. Después llegaría Alejandro Magno (discípulo de Aristóteles), y las cosas cambiaron bastante.

Anaxágoras
Anaxágoras era, en principio, más un filósofo de la naturaleza que un matemático, pero su mente inquisidora le llevó a participar también en el estudio de problemas matemáticos, así, Plutarco nos cuenta que Anaxágoras, mientras estaba en prisión, se ocupó del problema de la cuadratura del círculo, y aquí nos encontramos con la primera mención de un problema que iba a fascinar a los matemáticos durante más de 2000 años. No tenemos más detalles relativos al origen del problema ni a las reglas que lo regían, pero algo más tarde se sobreentendía ya que el cuadrado buscado, de área exactamente igual a la del círculo, había de ser construido utilizando la regla y el compás únicamente.

Anaxágoras murió el año 428 a.C., el mismo año que nacía Arquitas, exactamente un año antes del nacimiento de Platón y un año después de la muerte de Pericles. Se dice que Pericles murió de la peste que se llevó quizá como una cuarta parte de la población ateniense, y la profunda impresión que produjo esta catástrofe fue probablemente el origen de un segundo problema matemático famoso. Según las informaciones que nos han llegado, se envió una delegación al oráculo de Apolo de Delos para preguntar cómo podría conjurarse la peste, a lo que el oráculo contestó que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo. Al parecer, los atenienses duplicaron diligentemente las dimensiones del altar, pero no esto no sirvió de nada para detener la peste, obviamente el altar había aumentado ocho veces su volumen en vez de dos. Este es, según la leyenda, el origen del problema de la «duplicación del cubo», que se suele conocer también desde entonces como el «problema de Delos»: dada la arista de un cubo, construir, usando únicamente la regla y el compás, la arista de otro cubo que tenga volumen doble que el del primero.

Por la misma época circuló aún por Atenas un tercer problema famoso: dado un ángulo arbitrario, construir, con regla y compás únicamente, un ángulo igual a un tercio del ángulo dado. Estos tres problemas, la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo han sido conocidos desde entonces como «los tres problemas clásicos» de la antigüedad.

La resolución de casos particulares de cuadratura de figuras curvilíneas, como las de las lúnulas de Hipócrates, llevó a los antiguos a pensar erróneamente que se podría llegar a cuadrar el círculo
Más de 2200 años más tarde se iba a demostrar que todos estos tres problemas eran insolubles utilizando únicamente la regla y el compás. No obstante, la parte mejor de la matemática griega y también buena parte del pensamiento matemático muy posterior vino motivada por los esfuerzos para lograr lo imposible o, si estos esfuerzos fracasaban, para modificar las reglas del problema.

Bibliografía

1. Boyer, Carl B.:"Historia de la matemática". Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1999.

2. HEATH, T.L.: "A Manual of Greek Mathematics". Courier Dover Publications. 2003.

3. Klein, Carl B.:"El pensamiento matemático de la Antgüedad a nuestros días", vol I. Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1992.

4. MacTutor History of Mathematics archive (página web en inglés).

5. Moreno Castillo, R. y Vegas Montaner, J. M.: "Una historia de las matemáticas para jóvenes. Desde la Antigüedad hasta el Renacimeinto". NIVOLA libros y ediciones, S.L. Madrid, 2009

 
Mª del Carmen Torres Alonso

Profesora Dpto. de Matemáticas

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