Un paseo por la historia de la matemática: El sistema de numeración hindú

"Decía el sabio árabe al-Biruni que la matemática hindú era una mezcla de vulgares guijarros y valiosos cristales. La opinión de Al-Biruni es fiable, pero ha de ser matizada: la proporción de cristales es considerablemente más alta que la de guijarros. Aunque algunos historiadores sostienen que mucho de lo bueno de la ciencia hindú es debido a una influencia griega, no hay razones para negar la originalidad de gran parte de las creaciones matemáticas hindúes. Muchos de estos cristales se podrán conocer a través de quienes mejor supieron tallarlos: Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara."

Ricardo Moreno Castillo

"Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara. Tres matemáticos de la India" . Edit. Nivola, 2011

Aryabhata

Durante el siglo sexto, vivieron dos matemáticos hindúes de los cuales sabemos que escribieron libros sobre el mismo tipo de materias. El más viejo y a la vez el más importante de los dos fue Aryabhata, cuya obra más conocida, escrita hacia el 499 y titulada «Aryabhatiya», es un delgado volumen escrito en verso que cubre diversos temas de astronomía y de matemáticas. Se conocen los nombres de varios matemáticos hindúes anteriores a esta época, pero no se ha conservado nada de sus obras, salvo unos breves fragmentos. A este respecto, la posición de esta obra es bastante análoga para el caso de la India a la de los «Elementos» de Euclides para Grecia ocho siglos antes. Las dos obras son recopilaciones de desarrollos anteriores reunidas por un único autor. El libro es una breve obra descriptiva escrita en 123 estrofas métricas, con el objetivo de completar las reglas de cálculo utilizadas en astronomía y en las técnicas de medición matemáticas, sin ninguna relación con la lógica o la metodología deductiva.

Una parte importante es la que trata de progresiones aritméticas, la cual contiene reglas para calcular la suma de los términos de una progresión, y también para hallar el número de términos de la progresión conocido el primer término, la diferencia de la progresión y la suma de todos los términos.

La segunda mitad del libro trata de la medida y cálculo de tiempos y de trigonometría esférica, y aquí es donde nos encontramos con un elemento nuevo que iba a dejar una huella permanente en la matemática de las generaciones futuras: el sistema de numeración posicional decimal. No sabemos exactamente de qué manera efectuaba sus cálculos Aryabhata, pero en su afirmación de que «de un lugar a otro, cada uno es diez veces el que le precede» hay una clara indicación de que en su mente estaba de una manera consciente la aplicación del principio posicional.

Numerales Brahmi alrededor del siglo I.

 La idea del «valor posicional» había sido ya un elemento esencial del sistema de numeración babilónico, y quizá lo que los hindúes hicieron fue darse cuenta de que esta idea era aplicable también al sistema de notación decimal para los números enteros, que ya se estaba usando en la India.

El desarrollo histórico de las notaciones numéricas en la India parece haber seguido más o menos los mismos pasos que nos hemos encontrado en Grecia; las inscripciones procedentes del período más primitivo muestran al principio un sistema consistente simplemente en el uso de palotes verticales reunidos en grupos, pero hacia el siglo III a.C. se usaba ya un sistema en el que se adoptaron nuevos símbolos para unidades de orden superior, concretamente para cuatro, diez, veinte y cien. Esta manera de escribir los números fue evolucionando gradualmente para dar lugar a otro sistema de notación, conocido como el de los caracteres Brahmi, que recuerda mucho el cifrado alfabético del sistema jónico griego.

De los numerales cifrados del sistema Brahmi a nuestra notación moderna para los números naturales hay que superar dos breves etapas; la primera consiste en reconocer que, utilizando estrictamente el principio posicional, las cifras que representan los nueve primeros números pueden servir también como cifras para los correspondientes múltiplos de diez o, por la misma razón, como cifras para representar los múltiplos correspondientes de cualquier potencia de diez. No se sabe cuándo se produjo exactamente esta reducción a nueve cifras y, de hecho, lo más probable es que esta transición se hiciera de una manera gradual. Parece seguro, si nos basamos en la evidencia disponible, que este importante cambio tuvo lugar en la India, pero los orígenes de la inspiración para llevarlo a cabo son, en cambio, poco claros. Posiblemente los llamados numerales hindúes fueran el resultado de un desarrollo interno; quizá se desarrollaron primero en el contexto de los intercambios occidentales de la India con Persia, ya que el conocimiento de la notación posicional babilónica pudo haber conducido a una modificación del sistema Brahmi. Es posible también que el nuevo sistema tuviera sus orígenes en los contactos hacia el Este, con China, donde el sistema seudoposicional de barras pudiera haber sugerido la reducción a nueve cifras. Hay incluso una teoría que afirma que esta reducción pudo haber tenido lugar por primera vez en Alejandría, dentro del sistema alfabético griego, y que esta idea debió propagarse más tarde a la India. Desgraciadamente los hindúes no aplicaron el nuevo sistema de numeración para los enteros al campo de las fracciones decimales, y así se perdió la ventaja potencial más importante del cambio de la notación de tipo jónica.

La referencia a nueve símbolos y a no a diez implica que los hindúes no habían superado aún la segunda etapa en la transición hacia el sistema de numeración moderno, es decir, la que consiste en la introducción de un símbolo para el cero. Pero esto será materia para el próximo programa.

Para aquellos que queráis saber más sobre la matemática en la India, os recomiendo la lectura de este libro: "Aryabhata, Brahmagupta y Bhaskara. Tres matemáticos de la India" . Edit. Nivola, 2011, cuyo autor es Ricardo Moreno Castillo.

Bibliografía

1. Boyer, Carl B.:"Historia de la matemática". Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1999.

2. MacTutor History of Mathematics: Indian mathematics Index (página web en inglés).

3. Maza, Carlos: Matemáticas en la India (página web)

Mª del Carmen Torres Alonso

Profesora Dpto. de Matemáticas