Un paseo por la historia de la matemática: Los polígonos regulares y la trisección del ángulo

Todos los pueblos, desde sus primeras etapas de desarrollo, siempre han valorado mucho la simetría por su belleza intrínseca. Los pitagóricos, como ya he comentado en alguna otra ocasión, están auténticamente obsesionados por ella, y, ya que es difícil encontrarla en los números, decidieron buscarla en las formas. El objeto geométrico plano más simétrico que existe es el círculo, figura sagrada en todas las religiones, representativa del Sol, fuente de la vida. Y dentro de los polígonos, los más simétricos son los regulares, que tienen iguales todos sus lados y ángulos.

Los pitagóricos descubrieron que los polígonos regulares podían inscribirse en un círculo, es decir, que se puede trazar un círculo que pase por todos sus vértices. De hecho, dado un círculo cualquiera, el polígono regular más sencillo de trazar es el hexágono, pues su lado es igual al radio del círculo. Si marcamos un vértice sí y uno no del hexágono, no encontramos con el famoso triángulo equilátero. Si trazamos dos perpendiculares por el centro, y unimos los puntos en los cuales cortan a la circunferencia, tendremos el cuadrado.

Triángulo Equilátero

Así pues, tenemos ya los polígonos de 3, 4 y 6 lados. ¿Y dónde está el de 5 lados, el pentágono? ¿No se puede trazar? La cosa tiene más intriga aún, pues resulta que la enseña de los pitagóricos era el pentágono estrellado. Tendría gracia que los propios pitagóricos tuviesen como figura favorita una que solo pudiesen trazar a ojo. El caso es que el pentágono regular se puede trazar con toda exactitud, aunque es más difícil que los otros polígonos. El polígono de 7 lados siempre se les resistió, pero no les debió extrañar, porque el número 7 siempre ha sido la oveja negra entre los números más pequeños que el diez. De hecho, no se puede construir con regla y compás.

Duplicar el número de lados del polígono es muy fácil, porque es como dividir en dos partes iguales (o bisecar) el ángulo central del polígono, es decir, el que forman los radios que unen dos vértices consecutivos con el centro y vale, en grados, 360º dividido por el número de lados. Y dividir en dos partes iguales un ángulo, trazar su bisectriz, es muy fácil y todos sabemos cómo hacerlo.

Con ello podemos construir el octógono regular a partir del cuadrado, y tras él, los polígonos de 16, 32, 64, 128 y 256 lados. Por idéntica razón, a partir del hexágono podremos trazar el dodecágono y los polígonos de 24, 48, 96 y 192 lados.

¿Y el polígono de 9 lados, el eneágono? No podemos construirlo duplicando un polígono anterior, pero sí podríamos intentar triplicar el número de lados del triángulo regular o, lo que es lo mismo, dividir en tres partes iguales (o trisecar) el ángulo central del triángulo, que es de 120º. En otras palabras, si podemos trazar con el compás un ángulo de 40º con vértice en el centro del círculo, tendremos construido el eneágono regular. Pero no hubo manera, por más que lo intentaron. Probaron también a trisecar su mitad, el ángulo de 60º, que es agudo y más fácil de dibujar, pero tampoco lo lograron.

El problema es mucho más grave de los que podamos pensar en el siglo XXI: decir que un problema geométrico es resoluble con regla y compás equivale a afirmar que se puede resolver cortando rectas y circunferencias, las dos figuras perfectas. Y si las dos figuras perfectas no son capaces de generar todos los polígonos regulares, no podrán tampoco generar el resto de los objetos del cosmos, y el poder explicativo de la armonía y la geometría pura para describir los fenómenos se verá muy mermado. El andamio pitagórico se iba desmoronando poco a poco.

Bibliografía

1. Boyer, Carl B.:"Historia de la matemática". Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1999.

2. HEATH, T.L.: "A Manual of Greek Mathematics". Courier Dover Publications. 2003.

3. Klein, Carl B.:"El pensamiento matemático de la Antgüedad a nuestros días", vol I. Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1992.

4. MacTutor History of Mathematics archive (página web en inglés).

5. Moreno Castillo, R. y Vegas Montaner, J. M.: "Una historia de las matemáticas para jóvenes. Desde la Antigüedad hasta el Renacimeinto". NIVOLA libros y ediciones, S.L. Madrid, 2009

Mª del Carmen Torres Alonso

Profesora Dpto. de Matemáticas