Un paseo por la historia de la matemática: Los Elementos de Euclides

Los Elementos

Como ya he comentado en algún programa anterior, la Universidad de Alejandría no era probablemente muy diferente de las instituciones modernas de enseñanza superior. Algunos de los miembros de la facultad sobresalían en la investigación, otros se adaptarían mejor a tareas administrativas y otros aún destacarían por su capacidad pedagógica. Según parece por las referencias que tenemos, Euclides pertenecía de manera muy definida a este último grupo: no hay ningún descubrimiento nuevo que se le atribuya a él directamente, pero sí destacó por su habilidad expositiva. Esa es la clave del éxito de su obra más importante, los «Elementos»: se trataba claramente de un libro de texto. Los «Elementos» no eran, como se piensa a veces, un compendio de todos los conocimientos geométricos, sino más bien un texto introductorio que cubría toda la matemática elemental -es decir, la aritmética, la geometría sintética (de puntos, rectas, planos, círculos y esferas) y el álgebra (no en el sentido simbólico moderno)-. El arte de calcular no está incluido, ya que esto no formaba parte de la enseñanza universitaria; tampoco estaba incluido en el libro el estudio de las cónicas ni de las curvas planas superiores, porque esto formaba parte de la matemática más avanzada.

Si los «Elementos» hubieran tratado de ser un depósito de información exhaustivo, el autor habría incluido probablemente referencias a otros autores, información acerca de las investigaciones recientes y explicaciones informales, pero tal como están escritos, los «Elementos» se limitan al asunto de que se trata, la exposición de un orden lógico de los fundamentos de la matemática elemental. Euclides no formuló ninguna pretensión de originalidad, y está claro que debió hacer abundante uso de las obras de sus predecesores, pero se cree que la ordenación final es suya propia y presumiblemente algunas de las demostraciones se deban también a él, pero aparte de esto es difícil estimar el grado de originalidad que hay en esta obra matemática, la más famosa de la historia.

Los «Elementos» están divididos en trece libros o capítulos, de los cuales la primer media docena son sobre geometría elemental, los tres siguientes sobre teoría de números, el libro X sobre los inconmensurables y los tres últimos principalmente sobre geometría de sólidos. No hay ninguna introducción o preámbulo a la obra, y el primer libro comienza abruptamente con una lista de 23 definiciones. Los defectos o debilidades están aquí en que algunas de las definiciones no definen nada, ya que no hay ningún conjunto previo de elementos indefinidos en términos de los cuales definir los demás. Así, por ejemplo, decir como hace Euclides, que «un punto es lo que no tiene parte», o que «una línea es longitud sin anchura», o que «una superficie es lo que solo tiene longitud y anchura», apenas significa definir estos objetos, pues una definición debe expresarse en términos de cosas anteriores y que son mejor conocidas que las cosas que se definen. Se pueden plantear objeciones fácilmente a otras de las llamadas definiciones de Euclides, a cuenta de sus circularidad lógica, como en el caso: «los extremos de una línea son puntos», o «una línea recta es una línea que está situada de la misma manera con respecto a todos sus puntos», o «los extremos de una superficie son líneas», todas ellas posiblemente debidas a Platón. La definición euclídea de un ángulo plano como «la inclinación de una respecto a la otra de dos líneas en un plano que se cortan y no están situadas sobre una línea recta» es defectuosa por el hecho de que «inclinación» no ha sido definida previamente y no resulta mejor conocida que la palabra «ángulo».

Aristóteles

 A continuación de las definiciones Euclides nos presenta una lista de cinco postulados y cinco nociones comunes. Aristóteles había hecho una distinción clara entre axiomas o nociones comunes y postulados; los primeros, según él, deben se convincentes por sí mismos, por ser verdades comunes a todas las ciencias, mientras que los segundos son menos evidentes y no presuponen el asentimiento del que está aprendiendo, ya que se refieren solamente a la materia concreta de que se trate. Algunos escritores posteriores distinguieron entre los dos tipos de hipótesis aplicando la palabra axioma a algo conocido o aceptado como obvio, mientras que la palabra postulado se refería a la algo que se exige. No podemos saber si Euclides suscribiría alguno de estos puntos de vista, e incluso si distinguiría entre los dos tipos de hipótesis; los manuscritos existentes no se muestran de acuerdo en este punto, y en algunos casos las 10 hipótesis aparecen reunidas todas en una sola categoría.

Postulados. Postúlese lo siguiente:

1. Trazar una recta desde un punto a otro cualquiera.
2. Prolongar una línea recta finita de manera continua a otra línea recta.
3. Describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
4. Que todos los ángulos rectos son iguales.
5. Que si una línea recta corta a otras dos líneas rectas formando con ellas ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan del lado por el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos.

Nociones comunes: 

1. Cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí.
2. Si iguales se suman a iguales, los resultados son iguales.
3. Si iguales se restan a iguales, los restos son iguales.
4. Cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la parte.

Bibliografía

1. Boyer, Carl B.:"Historia de la matemática". Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1999.

2. HEATH, T.L.: "A Manual of Greek Mathematics". Courier Dover Publications. 2003.

3. Klein, Carl B.:"El pensamiento matemático de la Antgüedad a nuestros días", vol I. Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1992.

4. MacTutor History of Mathematics archive (página web en inglés).

5. El legado de las matemáticas. De Euclídes a Newton: Los genios a través de sus libro. (Página web)

Mª del Carmen Torres Alonso

Profesora Dpto. de Matemáticas