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| Relacionar círculo y cuadrado de igual área |
La frase cuadratura del círculo ha pasado al lenguaje coloquial como sinónimo de algo imposible de realizar. La perfecta síntesis entre la recta y el círculo sería calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo. Pero, ¿qué significa calcular para un griego, y más si es un pitagórico? Pues construir (con regla y compás, claro) un segmento que tenga la misma longitud que una circunferencia, o un cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado. A los griegos les parecía mucho más difícil resolver el primer problema que el segundo, y por eso se enfrentaron primero a éste, pero sin éxito.
Recordemos primero que cuadrar un rectángulo es fácil por el método pitagórico, pues no es más que obtener la media geométrica de sus lados, y para eso existen varias construcciones. Para cuadrar un triángulo basta transformarlo en el rectángulo de la misma base y altura mitad (o la misma altura y base mitad) y cuadrar éste. Y como todo polígono se puede descomponer en triángulos, para cuadrarlo basta con cuadrar cada triángulo y luego sumar los cuadrados así obtenidos mediante aplicaciones sucesivas del teorema de Pitágoras. Así pues, todo polígono (regular o no) es transformable en un cuadrado de la misma área mediante construcciones con regla y compás.
De todas formas, y aun con sus carencias, la idea de Antifón y Brisón nunca fue abandonada del todo, y quienes aclararon definitivamente la cuestión fueron los matemáticos más brillantes de toda la Antigüedad, Eudoxo de Cnido y Arquímedes de Siracusa. Eudoxo cuantificó la idea de Antifón, observando que al duplicar el número de lados, el error cometido al estimar el área del círculo por el polígono regular inscrito se reduce en más de la mitad.
Bibliografía
Recordemos primero que cuadrar un rectángulo es fácil por el método pitagórico, pues no es más que obtener la media geométrica de sus lados, y para eso existen varias construcciones. Para cuadrar un triángulo basta transformarlo en el rectángulo de la misma base y altura mitad (o la misma altura y base mitad) y cuadrar éste. Y como todo polígono se puede descomponer en triángulos, para cuadrarlo basta con cuadrar cada triángulo y luego sumar los cuadrados así obtenidos mediante aplicaciones sucesivas del teorema de Pitágoras. Así pues, todo polígono (regular o no) es transformable en un cuadrado de la misma área mediante construcciones con regla y compás.
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| Aristóteles |
Un sofista (un filósofo algo chapucero) llamado Antifón, observó lo siguiente: al aumentar el número de lados, los polígonos regulares inscritos en un círculo se van aproximando cada vez más a éste, y eso le llevó a sostener que como todo polígono es transformable en un cuadrado, también tendrá que serlo el círculo. No explica por qué, pero su argumento parece dar a entender que, tomando un número suficientemente grande de lados el polígono llegará a coincidir exactamente con el círculo, cosa que es falsa, como bien indicó Aristóteles. Luego su argumento no nos sirve desde el punto de vista teórico, aunque para obtener aproximadamente el área del círculo eso es exactamente lo que se hace. Otro famoso sofista, Brisón, consideró también los polígonos circunscritos al círculo, y, tras afirmar que el círculo tiene área mayor que la de cualquier polígono inscrito y menos que la de cualquier polígono circunscrito, creyó poder obtener el área del círculo como media proporcional entre ciertos polígonos inscritos y circunscritos. Por desgracia, esto tampoco funciona para resolver el problema.
Sí que consiguieron los griegos abordar este problema mediante la invención de curvas particulares, además de las cónicas. Pero eran curvas que solo se podían construir punto a punto (a diferencia de la recta y la circunferencia, que se pueden dibujar de un trazo), y por lo tanto solo resolvían el problema aproximadamente.
Sí que consiguieron los griegos abordar este problema mediante la invención de curvas particulares, además de las cónicas. Pero eran curvas que solo se podían construir punto a punto (a diferencia de la recta y la circunferencia, que se pueden dibujar de un trazo), y por lo tanto solo resolvían el problema aproximadamente.
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| La resolución de casos particulares de cuadratura de figuras curvilíneas, como las de las lúnulas de Hipócrates, llevó a los antiguos a pensar erróneamente que se podría llegar a cuadrar el círculo |
El problema ha atraído la atención de innumerables matemáticos, tanto profesionales como aficionados, e incluso en 1897 se llegó a discutir un proyecto de ley en el Comité de Educación del estado de Indiana (U.S.A.) para legalizar un método de cuadrar el círculo. Hoy en día siguen apareciendo de vez en cuando nuevas soluciones al problema, a pesar que se sabe con absoluta certeza (desde 1882), que es imposible.
Bibliografía
1. Boyer, Carl B.:"Historia de la matemática". Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1999.
2. HEATH, T.L.: "A Manual of Greek Mathematics". Courier Dover Publications. 2003.
3. Klein, Carl B.:"El pensamiento matemático de la Antgüedad a nuestros días", vol I. Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1992.
2. HEATH, T.L.: "A Manual of Greek Mathematics". Courier Dover Publications. 2003.
3. Klein, Carl B.:"El pensamiento matemático de la Antgüedad a nuestros días", vol I. Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1992.
4. MacTutor History of Mathematics archive: Doubling the cube (página web en inglés).
5. Moreno Castillo, R. y Vegas Montaner, J. M.: "Una historia de las
matemáticas para jóvenes. Desde la Antigüedad hasta el Renacimeinto".
NIVOLA libros y ediciones, S.L. Madrid, 2009
Mª del Carmen Torres Alonso
Profesora Dpto. de Matemáticas
Con esto doy por finalizada la temporada de esta sección: “Un paseo por la historia de la matemática”. Espero que haya sido una sección amena, tengo la esperanza que en algún que otro programa lo habré conseguido. No resulta fácil hablar de matemáticas sin una pizarra por delante, imaginaros lo complicado que puede resultar transmitir ideas a través de la radio. He intentado en todo momento ver las matemáticas como algo dinámico, las ideas surgen, se desarrollan y se ponen en práctica. Las cosas no nos han llegado “a los libros de texto” porque sí, sino que todo ha tenido un origen, muchas de ellas desde los comienzos de la civilización humana.
Con esto doy por finalizada la temporada de esta sección: “Un paseo por la historia de la matemática”. Espero que haya sido una sección amena, tengo la esperanza que en algún que otro programa lo habré conseguido. No resulta fácil hablar de matemáticas sin una pizarra por delante, imaginaros lo complicado que puede resultar transmitir ideas a través de la radio. He intentado en todo momento ver las matemáticas como algo dinámico, las ideas surgen, se desarrollan y se ponen en práctica. Las cosas no nos han llegado “a los libros de texto” porque sí, sino que todo ha tenido un origen, muchas de ellas desde los comienzos de la civilización humana.
También, quiero dar las gracias a los alumnos y alumnas de 4º ESO C y 1º BACHILLERATO B, por su colaboración en esta sección.
Por último,
¡¡OS DESEO UN FELIZ VERANO A TODOS!!
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