Un paseo por la historia de la matemática: La duplicación del cubo

Localización de la isla en las Cícladas

La isla de Delos era el centro religioso de las ciudades de la liga ática, aliadas de Atenas, y el templo del dios Apolo, con un enorme altar cúbico, era famoso en toda Grecia. En un momento dado se declaró una plaga terrible en la isla y los sacerdotes de Apolo pidieron a la pitonisa o adivina del templo que averiguase cómo aplacar la ira del dios para que detuviese la epidemia. Según la pitonisa, Apolo le había dicho en sueños (posiblemente inducidos por unas emanaciones de azufre con consecuencias alucinógenas, y a veces mortales) que los ciudadanos de Delos debían construirle otro altar, también cúbico, pero cuyo tamaño fuese doble del que ya había. Se dice que al ignorante constructor al que encargaron la obra no se le ocurrió otra cosa que duplicar el lado del cubo, con lo cual el volumen del cubo se multiplicó por ocho (es decir, por 2 elevado a 3), no por dos. Apolo, se enfadó bastante y quizá por eso la epidemia duró más tiempo.

Apolo

Una vez despedido el incompetente diseñador, los matemáticos de verdad se aplicaron a la tarea. Fue Hipócrates de Quíos, el mejor geómetra del siglo V a.C., quien más se acercó a la solución. Hipócrates fue también el primer profesor de matemáticas al que se pagaba. Hasta entonces, esta enseñanza era una actividad casi religiosa y se hacía gratis. Parece ser que se dedicó a tan sacrificada profesión después de haber sido arruinado (algunos dicen estafado) por sus socios comerciales. Es muy curiosa la coincidencia en nombre y fechas de nuestro geómetra con el gran Hipócrates de Cos, padre de la medicina y autor del famoso juramento hipocrático que aún hoy efectúan los médicos nada más terminar la carrera. Hipócrates de Quíos demostró que resolverían el problema si conseguían intercalar dos medias proporcionales entre el lado del cubo inicial a  y el doble 2a. Es decir, si podían trazar segmentos x e y tales que:

Os animo a que comprobéis que de esta doble proporcionalidad se deduce que x³=2a³, y que x es el lado del cubo de volumen doble. Recordar, producto de medios igual a producto de extremos. Fijaros que tenemos en realidad tres proporcionalidades con las que manejaros, y no olvidéis que la primera razón también es igual a la última.

Esos segmentos se podrían obtener de diversas maneras, o como dicen los geómetras, mediante diversas configuraciones. Aquí tenéis una de ellas.

En la figura que está más adelante, CE es perpendicular a AD, y EB lo es a AC. Los cinco triángulos rectángulos que aparecen en el dibujo son semejantes, pues, aparte del ángulo recto, tienen otro ángulo igual. Entonces, el cociente entre el cateto mayor y la hipotenusa es igual en cada uno de los triángulos ABE, AEC y ACD, lo cual nos suministra la triple relación buscada:

Por tanto, si AB=a y AD=2a, AE=x sería la solución. La figura no parece muy complicada, pero fijaros: si empezamos trazando las perpendiculares a partir de C, entonces E y B quedan predeterminados, y no podremos fijar AB a nuestro gusto. Y si trazamos a nuestro gusto AB y trazamos las perpendiculares empezando en B, entonces C y D quedarán predeterminados. Para que AD fuese exactamente el doble de AB deberíamos elegir el ángulo adecuado, que ese si está a nuestra disposición. Y como en el caso de la trisección del ángulo, nadie consiguió trazar con regla y compás el ángulo preciso para que la figura pudiese resolver el problema de la duplicación del cubo. Parece aún más increíble que con la trisección del ángulo, pero se demostró en el siglo XVIII que es imposible trazar dicho ángulo solo con regla y compás.

Bibliografía

1. Boyer, Carl B.:"Historia de la matemática". Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1999.

2. HEATH, T.L.: "A Manual of Greek Mathematics". Courier Dover Publications. 2003.

3. Klein, Carl B.:"El pensamiento matemático de la Antgüedad a nuestros días", vol I. Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1992.

4. MacTutor History of Mathematics archive: Doubling the cube (página web en inglés).

5. Moreno Castillo, R. y Vegas Montaner, J. M.: "Una historia de las matemáticas para jóvenes. Desde la Antigüedad hasta el Renacimeinto". NIVOLA libros y ediciones, S.L. Madrid, 2009

Mª del Carmen Torres Alonso

Profesora Dpto. de Matemáticas