Un paseo por la historia de la matemáticas: Fibonacci, el primer matemático de la Edad Media

Leonardo de Pisa (Fibonacci)

Leonardo de Pisa o Leonardo Filius Bonacci (Fibonacci, hijo de Bonacci, apodo por el que era conocido su padre Guglielmo) fue un matemático innovador del s. XIII. Nació en Pisa (Italia) alrededor de 1175. Su padre era un mercader-diplomático que viajaba sin descanso en representación de la república de Pisa. Gracias a ello, Fibonacci tuvo ocasión de entrar en contacto con comerciantes de la cuenca mediterránea que eran portadores de tradiciones matemáticas de muy diversas culturas. En el curso de sus continuos viajes, Fibonacci aplicó su talento y capacidad de síntesis para reunir muchos de esos conocimientos matemáticos. Su fama creció de tal forma, que alcanzó gran influencia entre los matemáticos de la corte del emperador del Sacro Imperio Romano, Federico II. Murió en 1250, posiblemente en la misma ciudad donde nació.

Página del Liber Abacci de Fibonacci

En el año 1202 publicó un tratado de matemáticas, el “Liber Abacci” o libro del ábaco, donde introducía de forma efectiva la notación posicional y los números hindú–arábigos en la aritmética europea. Fibonacci no fue el primero en adoptar las ventajas de esta numeración, sin embargo, contribuyó con su prestigio a que fuera adoptada de forma generalizada por los matemáticos occidentales. En su libro describía reglas elementales para sumar, restar, multiplicar y dividir semejantes a las que nosotros utilizamos hoy en día, y en las que se pueden apreciar las grandes ventajas del sistema de notación posicional. Además proporcionaba procedimientos y técnicas de contabilidad muy útiles para las transacciones mercantiles, como cambios de divisas, cálculo de intereses generados por préstamos, etc. Con todo, todavía cien años después de publicado el “Liber Abacci”, los banqueros florentinos tenían prohibido utilizarlas, tanto era el apego de los comerciantes italianos a sus viejas costumbres. Además, en 1348 se aconsejaba a las autoridades académicas de Padua que exigiesen a los vendedores que el precio de los libros estuviera claramente puesto en letras, no en cifras.

Una de las contribuciones más destacables del “Liber Abacci” son los problemas que planteaba como ejercicio para los lectores, cuyo carácter atractivo y moderno contribuyó a que fueran tomados por muchos autores posteriores para sus tratados de matemáticas. Uno de esos problemas es el que da origen a la conocida sucesión de Fibonacci:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…

Como sucede muchas veces en la historia de las matemáticas, el principio de todo es un humilde problema en apariencia trivial que, en este caso, dice así:

Un hombre acomoda una pareja de conejos en un recinto vallado. La pareja de conejos engendra una pareja de retoños, macho y hembra, y solo una, cada mes. La nueva pareja a su vez engendra otra pareja a partir del segundo mes de vida, y así sucesivamente. ¿Cuántas parejas de conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?

La primera propiedad de esta sucesión es que cada término es la suma de los dos anteriores. Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número de oro:

Partenón Griego

Resulta chocante que en el problema planteado por Fibonacci en su Libro del ábaco, aparentemente desprovisto de otro interés que el puramente calculístico, aparezca este número mágico ligado al canon de belleza y equilibrio geométrico. Recordemos que Φ también recibe la denominación de divina proporción, introducida por el matemático italiano Luca Pacioli, en su libro "De divina proportione", que colaboró en el estudio de sus propiedades con Leonardo da Vinci. La denominación de proporción áurea, es posterior. Pero sea cual sea el nombre que se le adjudique esta proporción apareció por primera vez en la literatura matemática en la proposición 30 del sexto libro de los Elementos de Euclides, y probablemente era ya conocida por los Pitagóricos. Su presencia es insoslayable en muchas actividades humanas en las que la apreciación estética resulta importante. El diseño del Partenón griego, rezuma proporciones áureas por sus cuatro costados. Innumerables pintores como Boticcelli, Leonardo o Durero adoptaron la proporción áurea en la composición geométrica de muchos cuadros. Ni siquiera la poesía escapa a su influjo, pues se ha encontrado que la proporción entre el tamaño de las estrofas de la Eneida de Virgilio sigue también la razón áurea.

Pero los números de la sucesión de Fibonacci van a sorprender también a todos los biólogos: las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números. El número de giros horarios y antihorarios que hay que dar alrededor del tallo hasta que una hoja queda exactamente en la vertical de otra, y el número de hojas que crecen entre estas dos posiciones son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

Por ejemplo el roble, el manzano, el ciruelo y el cerezo siguen un patrón (2,3,5) correspondiente a dos giros antihorarios, tres giros horarios y cinco hojas. El peral sigue un patrón (3,5,8) y el almendro (5,8,13). ¡Estos patrones aparecen en el 90% de las plantas!

La explicación plausible de esta organización está en un principio de optimización, ya que con ella se garantiza que todas las hojas reciban la mayor cantidad posible de agua y luz solar a lo largo del ciclo diario.

 Como último ejemplo, vamos a construir una figura muy simple donde vuelve a aparecer la sucesión de Fibonacci:

• Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión.
• Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo de dimesiones 2x1.
• Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo de 3x2.
• Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21...
• Podemos llegar a rectángulo de 34x55, de 55x89...

Espiral de Fibonacci

Cuanto más avancemos en este proceso más nos aproximamos al rectángulo áureo. Hemos construido así una sucesión de rectángulos, cuya dimensiones partiendo del cuadrado (1x1) , pasan al rectángulo de dimensiones 2x1, al de 3x2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo.

Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va formando una curva que ya nos resulta familiar. Es la espiral de Durero.

El nautilus, es un molusco marino propio del Océano Índico, cuya concha con múltiples cámaras sigue una espiral de Fibonacci.

Concha Nautilus

Bibliografía

1 Alonso, A. y Bermúdez T.:"De conejos y números. La sorprendente sucesión de Fibonacci". La Gaceta de la RSME, v. 5.1 (2002), pág. 176-196.

1. Boyer, Carl B.:"Historia de la matemática". Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1999.

2. Klein, Carl B.:"El pensamiento matemático de la Antgüedad a nuestros días", vol I. Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1992.

Mª del Carmen Torres Alonso

Profesora Dpto. de Matemáticas