Un paseo por la historia de la matemática: El escándalo de los irracionales

Se suele describir con este artículo el lío en que se metieron los geómetras pitagóricos cuando intentaron calcular la proporción áurea en términos de números enteros.

Recordar, que para los pitagóricos, los números eran únicamente los números enteros y una razón entre dos números no era una fracción y, por lo tanto, otro tipo de número como en la época moderna. Las fracciones concretas, utilizadas para expresar partes de una unidad monetaria o de una medida, se utilizaban evidentemente en el comercio, pero tales usos comerciales de la aritmética quedaban fuera del marco de la matemática propiamente dicha.

Por lo tanto, los pitagóricos se vieron desagradablemente sorprendidos por el descubrimiento de que algunas razones, por ejemplo, la razón de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles a un cateto o, lo que es lo mismo, de la diagonal al lado de un cuadrado, no podían expresarse por medio de números enteros. Dado que los pitagóricos se habían dedicado a estudiar las ternas de números enteros que podían ser lados de un triángulo rectángulo, lo más probable es que descubrieran estas nuevas razones en el mismo contexto. Llamaron razones conmensurables a las que se podían expresar por medio de números enteros, los que significaba que las dos cantidades venían medidas por una unidad común, y a las que no eran expresables de esa manera, razones inconmensurables; por lo tanto, lo que nosotros expresamos de la forma √2/2 es una razón inconmensurable.

Dice la leyenda que este descubrimiento lo efectuó un pitagórico llamado Hipaso de Metaponto (siglo V a.C.), al cual no se le ocurrió mejor idea que andar por ahí revelando estos secretos. Aparte de la mala propaganda que esto suponía para la comunidad pitagórica, sus miembros tenían prohibido revelar nada de lo que se dijese o sucediese dentro de la comunidad. Así pues, Hipaso había pecado doblemente: había hundido el edificio pitagórico al destronar al número de su lugar central, y lo que es peor, lo había contado por ahí. En castigo, lo tiraron al mar.

La demostración dada por los pitagóricos por la inconmensurabilidad de √2 con 1 procedía, según Aristóteles, por el método de demostración indirecta o reducción al absurdo. Concretamente, la demostración mostraba que si la hipotenusa fuera conmensurable con el cateto, entonces el mismo número tendría que ser a la vez par e impar; algo que es imposible que se pueda dar.

En la matemática moderna las razones inconmensurables se expresan por medio de números irracionales, pero los pitagóricos nunca habrían aceptado tales números. Los babilonios trabajaron, de hecho, con tales números mediante aproximaciones, aunque probablemente no sabían que tales aproximaciones sexagesimales fraccionarias nunca podían ser exactas, así como tampoco los egipcios llegaron a reconocer el carácter distinto de los irracionales. Los pitagóricos, al menos, reconocieron que las razones inconmensurables son de un tipo completamente diferente de las conmensurables.

Este descubrimiento planteó un problema central en la matemática griega. Hasta este momento los pitagóricos habían identificado números y geometría, pero la existencia de razones inconmensurables destruía esta identificación. No cesaron de considerar todo tipo de longitudes, áreas y razones en geometría, pero se restringieron a considerar razones numéricas únicamente para el caso conmensurable. La teoría de proporciones para razones inconmensurables y para todo tipo de magnitudes se debe a Eudoxo.

Hay algunos otros resultados geométricos descubiertos también por los pitagóricos. El más famoso es, desde luego, el mismísimo teorema de Pitágoras, un teorema clave para la geometría euclídea, pero también se le atribuyen muchos de los teoremas que conocemos sobre triángulos, rectas paralelas, polígonos, círculos, esferas y los poliedros regulares. Concretamente, sabían que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 grados, y entre otros resultados conocían una teoría restringida de figuras semejantes y el hecho de que un plano puede ser recubierto por triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares.

Los pitagóricos empezaron a estudiar un tipo de problemas conocidos con el nombre de aplicación de áreas. El más sencillo de ellos era el de construir un polígono de área igual a uno dado y semejante a otro dado. Otro consistía en construir una figura concreta con un área que excedía o resultaba defectuosa de otra en un área dada. La forma más importante del problema de aplicación de áreas es: «dado un segmento, construir sobre una parte de él o sobre él mismo extendido un paralelogramo igual en área a una figura rectilínea dada y resultado deficiente (en el primer caso) o excediendo (en el segundo caso) en un paralelogramo semejante a uno dado».

Bibliografía

1. Boyer, Carl B.:"Historia de la matemática". Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1999.

2. HEATH, T.L.: "A Manual of Greek Mathematics". Courier Dover Publications. 2003.

3. Klein, Carl B.:"El pensamiento matemático de la Antgüedad a nuestros días", vol I. Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1992.

4. MacTutor History of Mathematics archive (página web en inglés).

5. Moreno Castillo, R. y Vegas Montaner, J. M.: "Una historia de las matemáticas para jóvenes. Desde la Antigüedad hasta el Renacimeinto". NIVOLA libros y ediciones, S.L. Madrid, 2009

Mª Carmen Torres Alonso

Profesora Dpto. de Matemáticas